2015考研:文都网校老师推荐高等数学必看定理

         函数与极限

1、函数的有界性在定义域内有f(x)≥K1则函数f(x)在定义域上有下界，K1为下界;如果有f(x)≤K2，则有上界，K2称为上界。函数f(x)在定义域内有界的充分必要条件是在定义域内既有上界又有下界。

2、数列的极限定理(极限的性)数列{xn}不能同时收敛于两个不同的极限。

定理(收敛数列的有界性)如果数列{xn}收敛，那么数列{xn}一定有界。

如果数列{xn}无界，那么数列{xn}一定发散;但如果数列{xn}有界，却不能断定数列{xn}一定收敛，例如数列1，-1，1，-1，(-1)n+1…该数列有界但是发散，所以数列有界是数列收敛的必要条件而不是充分条件。

定理(收敛数列与其子数列的关系)如果数列{xn}收敛于a，那么它的任一子数列也收敛于a.如果数列{xn}有两个子数列收敛于不同的极限，那么数列{xn}是发散的，如数列1，-1，1，-1，(-1)n+1…中子数列{x2k-1}收敛于1，{xnk}收敛于-1，{xn}却是发散的;同时一个发散的数列的子数列也有可能是收敛的。

3、函数的极限函数极限的定义中0

定理(极限的局部保号性)如果lim(x→x0)时f(x)=A，而且A>0(或A0(或f(x)>0)，反之也成立。

函数f(x)当x→x0时极限存在的充分必要条件是左极限右极限各自存在并且相等，即f(x0-0)=f(x0+0)，若不相等则limf(x)不存在。

一般的说，如果lim(x→∞)f(x)=c，则直线y=c是函数y=f(x)的图形水平渐近线。如果lim(x→x0)f(x)=∞，则直线x=x0是函数y=f(x)图形的铅直渐近线。

4、极限运算法则定理有限个无穷小之和也是无穷小;有界函数与无穷小的乘积是无穷小;常数与无穷小的乘积是无穷小;有限个无穷小的乘积也是无穷小;定理如果F1(x)≥F2(x)，而limF1(x)=a，limF2(x)=b，那么a≥b.

5、极限存在准则两个重要极限lim(x→0)(sinx/x)=1;lim(x→∞)(1+1/x)x=1.夹逼准则如果数列{xn}、{yn}、{zn}满足下列条件：yn≤xn≤zn且limyn=a，limzn=a，那么limxn=a，对于函数该准则也成立。

单调有界数列必有极限。

6、函数的连续性设函数y=f(x)在点x0的某一邻域内有定义，如果函数f(x)当x→x0时的极限存在，且等于它在点x0处的函数值f(x0)，即lim(x→x0)f(x)=f(x0)，那么就称函数f(x)在点x0处连续。

不连续情形：1、在点x=x0没有定义;2、虽在x=x0有定义但lim(x→x0)f(x)不存在;3、虽在x=x0有定义且lim(x→x0)f(x)存在，但lim(x→x0)f(x)≠f(x0)时则称函数在x0处不连续或间断。

如果x0是函数f(x)的间断点，但左极限及右极限都存在，则称x0为函数f(x)的类间断点(左右极限相等者称可去间断点，不相等者称为跳跃间断点)。非类间断点的任何间断点都称为第二类间断点(无穷间断点和震荡间断点)。

定理有限个在某点连续的函数的和、积、商(分母不为0)是个在该点连续的函数。

定理如果函数f(x)在区间Ix上单调增加或减少且连续，那么它的反函数x=f(y)在对应的区间Iy={y|y=f(x)，x∈Ix}上单调增加或减少且连续。反三角函数在他们的定义域内都是连续的。

定理(较大值较小值定理)在闭区间上连续的函数在该区间上一定有较大值和较小值。如果函数在开区间内连续或函数在闭区间上有间断点，那么函数在该区间上就不一定有较大值和较小值。

定理(有界性定理)在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界，即m≤f(x)≤M.定理(零点定理)设函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，且f(a)与f(b)异号(即f(a)×f(b)

推论在闭区间上连续的函数必取得介于较大值M与较小值m之间的任何值。

   课程推荐：

2016考研政治英语一数学

  【课程介绍】

一、【无二优势】
业内主讲师资为签约首席老师的精品课程。文都网校考研政治首席老师：蒋中挺、徐明德、任燕翔、常成、王亮；文都网校考研英语首席老师：何凯文、刘一男、谭剑波、徐可风、何威威  ；文都网校考研数学首席老师：汤家凤、黄教授、余丙森、郭传德 。结合命题规律和透彻的课程讲解，致力于较大限度提高学员成绩。签署协议，年不过第二年可重学。适用于立志考研，希望通过充分细致的复习在考研政治英语数目获得的学生。为基础薄弱和自制力差的考生量身定制的课程。（1）班主任保姆式复习督促、（2）24小时在线答疑、（3）每月个性化复习规划、（4）模拟测评、（5）深度作文批改、（6）基础差直播互动精讲课程、（7）考前：培训、（8）老师碎片化微课。专注基础差考研。
 
二、【适用人群】
1. 立志考研，基础薄弱自制力差希望考研政治英语数学获得的考生；
2.希望在专业老师带领下，2016考研政治英语数目得到充分细致复习的考生；
5. 选择联报班型以节约报班成本的考生。详情请点击：》》》》》